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[【教材点评】] (借助虚功原理的)能量泛函法的个人总结,请大家指正。

[【教材点评】] (借助虚功原理的)能量泛函法的个人总结,请大家指正。

(借助虚功原理的)能量泛函法的个人总结,请大家指正。

1)有限元法的导出大概分为直接刚度法、(借助虚功原理的)能量泛函法和加权余量法。直接刚度法适合于应力和应变有明确关系的问题;能量法适合能建立能量泛函的问题;加权余量法适合一切问题,但通过加权余量法导出的有限元法需要变分法等知识,现对更抽象。
2)(借助虚功原理的)能量泛函法的核心思想是单元的信息(比如应力、位移、应变等)用节点的信息表示,暂且称为转换思想,这和有限差分法的用差分表示导数的思想是一致的。只要应力和应变时线性关系,对每一种特定形状的单元,这种转换的过程是一样,所以产生形函数的概念,适合了计算机呆板的特点。
3)单元的信息(比如应力、位移、应变等)往往是无法确定的,不过可以写成一个方程组(很多教材称为刚度方程)。由于应力和位移都是按整体坐标系进行分解的,刚度矩阵很容易总装,建立总的方程组。很明显,网格越细,单元越多,方程数越多,内存和cpu的压力越大。
4)最需要注意的是,插值函数和虚功对应,因为插值是一个假设,虚功也是假设。假设越合理,结果越准确。所以使用高阶次的插值函数,会带来更靠近实际的结果。很显然,这就得付出和再细分网格一样的代价,比如平面定义域里面,三角形单元,一般是六个待定系数(u=a0+a1x+a2y;v=a3+a4x+a5y),如果提高一个阶次变成12个待定系数(u=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x^2+a5y^2;v= a6+a7x+a8y+a9xy+a10x^2+a11y^2)。方程数大大增多了。
6)既然再细分网格和采取高阶次的插值函数往往不经济,人们想到第三种方法,就是使用边数更多的单元(比如使用四边形代替三角形,使用六面体代替四面体)。首先遇到的问题是分割之后,(以四边形为例)得到的四边形形状各异,无法使用统一的格式进行积分,这就无法用计算机代劳,比如你说x和y的积分上限下限是多少呢。但是人们很快找到了方法,人们想,既然虚功是假设,插值也是假设,我们为何不把千奇百怪的四边形都用一个正方形带代替呢。只要这个正方形能代表原四边形(或者说正方形和四边形的点之间都是一一对应的函数关系)便可。
7)在(借助虚功原理的)能量泛函法的发展中,有限元其实经历了两次思想的飞跃,首先是使用节点信息代替单元任意点的信息,之二是用正方形代替代替任意四边形(当然等参单元只用于局部坐标),这和有限差分的用微商代替导数的思想是一致的。
8)最后需要指出的是,所有学科都是统一的,比如结构力学里面的两个几何量(挠度和转角),弹性力学里面的两个位移(u和v),理论力学的两种应变(线应变和切应变),其实都是一回事,两个变量的不同表示而已。

(借助虚功原理的)能量泛函法的个人总结,请大家指正。


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